Recientemente, el retorno al país de Nestor Nina Zarate, destacado matemático boliviano que radicaba en Brasil, que enfrenta un cáncer en etapa avanzada, ha sido noticia en algunos medios de comunicación y redes sociales. Las circunstancias de su regreso han conmovido a muchos, no solo a aquellos que lo conocen personalmente, sino también a quienes han escuchado sobre las particularidades de su situación.
 
Nestor realizó sus estudios de licenciatura en la Carrera de Matemática de la Universidad Mayor de San Andrés. Algunos miembros de esta carrera valoran enormemente los aportes originales de Néstor a la matemática, los cuales resultaron del trabajo que realizó durante su formación doctoral. Además, consideran importante dar a conocer algunos detalles sobre su camino académico, ya que esto podría inspirar y motivar a otros estudiantes y futuros investigadores.

Nestor es conocido por su su esfuerzo, superación y autodeterminación, pero hubo un momento clave que marcó un cambio sustancial en su actitud: en el año 2012, Nestor estaba decidido a cursar una maestría en Brasil, y aunque ya había completado todas las materias de la licenciatura, seguía estudiando por su cuenta. En abril de 2013, comenzó la maestría en la Universidad Federal Fluminense con una beca otorgada por la Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES). 

Para obtener el grado de maestría, además de vencer las materias del programa, presentó un trabajo en el que estudió la estabilidad C^r del conjunto de rotación de endomorfismos del círculo por perturbaciones, basado en el artículo “Changing rotation intervals of endomorphisms of the circle” de R. Bamon, I. Malta y M.J. Pacifico (Invent. Math. 83 (1986), 257-264). De acuerdo con su orientador, el Dr. Andres Koropecki, cuando él comenzó a estudiar el tema de su disertación se encontraba muy despreparado, sin embargo, se sorprendió gratamente al ver que Nestor fue de a poco sanando las deficiencias, y al final manejaba los temas en estudio con mucha seguridad. En su disertación, demostró resultados que faltaban en el artículo y concluyó un excelente trabajo.  A pesar de que su disertación se basó en un artículo publicado en 1986, cabe destacar que se trata de un artículo publicado en Inventiones Mathematicae, una de las revistas más prestigiosas de investigación en matemática del mundo, lo que indica su relevancia y sofisticación técnica. 

En un correo electrónico reciente, el Dr. Koropecki escribió respecto a Nestor: “Si bien no llegué a conocerlo a nivel personal, siempre lo recuerdo sonriente y animado (creo que fue el alumno más bienhumorado que he tenido). Lo seguiré recordando así y con orgullo de haber sido su orientador”.

En el año 2016, Nestor inició su doctorado en matemáticas en la Universidad Federal de Río de Janeiro. Gracias a una beca otorgada por el Consejo Nacional de Desarrollo Científico y Tecnológico (CNPq) de Brasil, tuvo un ingreso mensual que le permitió dedicarse de manera exclusiva a su investigación y estudio, al igual que durante su maestría. Superó sus cursos con buenas notas y aprobó el examen de calificación, que consiste en una evaluación oral del conocimiento y la capacidad del estudiante para llevar a cabo investigaciones originales y significativas en su área de studio, en este caso,  Sistemas Dinámicos y Teoría Ergódica. Durante su doctorado, Nestor continuó demostrando su autodeterminación y capacidad para tomar decisiones importantes en su carrera académica. A pesar de que ya había avanzado en su investigación, se dio cuenta de que no estaba avanzando tan rápido como le gustaría y solicitó cambiar de orientador para mejorar su progreso. Aunque esto significaba cambiar de línea de investigación, Nestor estaba dispuesto a hacerlo con el fin de alcanzar sus metas. El Dr. Sergio Romaña, matemático colombiano, aceptó a Nestor como su primer alumno de doctorado y le propuso trabajar en problemas del área de sistemas dinámicos y geometría Riemanniana, esto después de ver cómo había sido su rendimiento en las materias del doctorado. Los resultados que obtuvo en su tesis doctoral, titulada “On Anosov geodesic flows”, mostraron que Nestor tomó la decisión correcta.

El flujo geodésico es un tipo de flujo en el espacio tangente unitario de una variedad. En términos simples, éste describe cómo se mueven las geodésicas (las curvas que siguen el camino más corto entre dos puntos suficientemente próximos) a lo largo del tiempo en una variedad Riemanniana. Las principales propiedades dinámicas y ergódicas del flujo geodésico sobre variedades compactas de curvatura negativa fueron estudiadas y entendidas en el siglo pasado, consultar “Hyperbolic dynamics and Riemannian geometry” de G. Knieper (Hanbook of Dynamical Systems, Vol. 1A, Elsevier Science, 2002) por una introducción. Una de estas propiedades es que las órbitas periódicas son densas. 

El flujo geodésico en variedades compactas de curvatura negativa es un caso especial de ciertos flujos hiperbólicos llamados de Anosov. Estos flujos se definen sobre variedades diferenciables y están caracterizados por la existencia de una estructura de hiperbolicidad, que es una propiedad geométrica que describe cómo se expanden y contraen los vectores de ciertos subespacios del espacio tangente de la variedad bajo la derivada del flujo.

El flujo geodésico en una variedad no compacta de curvatura negativa no necesariamente es Anosov. Sin embargo, sí lo es cuando la curvatura es negativamente “pinched”, es decir, acotada entre dos constantes negativas. Una línea de investigación actual es encontrar consecuencias geométricas en una variedad (compacta o no) cuando su flujo geodésico es de Anosov. Las contribuciones de Nestor en su tesis doctoral fueron en este contexto y las describimos a continuación.

El primer resultado sustancial que logró demostrar es la densidad de las órbitas periódicas de un flujo geodésico de Anosov en una variedad Riemanniana no-compacta de volumen finito. Este resultado es bien conocido en el caso compacto, por lo que resultó sorprendente para Nestor y su orientador que no hubiera sido publicado antes, a pesar de que se daba por cierto sin contar con una prueba publicada en una revista de investigación.

La noción de conjugación para sistemas dinámicos es similar a la noción de morfismo para estructuras algebraicas. Dos sistemas son topológicamente conjugados si módulo un homeomorfismo se trata del mismo sistema dinámico, entonces, toda la información relevante sobre un sistema se transfiere a otro mediante la conjugación. Sin embargo, en el caso de flujos se puede relajar la noción de conjugación a la de equivalencia por órbitas, un homeomorfismo que preserva la estructura de las órbitas pero no preserva la velocidad en la que se recorren, es decir, existe una reparametrización por cada órbita. Si la equivalencia es Lipschitz y su inversa también se dice que es una 1-equivalencia. 

El segundo resultado relevante del trabajo de Nestor fue mostrar que, si dos variedades Riemannianas compactas son tales que la primera no tiene puntos conjugados, la menor curvatura seccional de la primera es mayor o igual a la mayor curvatura seccional de la segunda multiplicada por una constante positiva y existe una 1-equivalencia entre sus flujos geodésicos (con una condición en las reparametrizaciones) entonces ambas variedades son de curvatura constante. Este resultado mejora, en el caso compacto, un resultado de “A Rigidity Theorem for Anosov Geodesic Flows in Manifolds of Finite Volume” de I. Melo y S. Romaña, artículo que actualmente es un preprint y no ha sido publicado todavía en una revista. Como corolario se obtienen obstrucciones en términos de los intervalos de curvatura seccional para la existencia de 1-equivalencias entre flujos geodésicos de variedades compactas tal que una tiene curvatura negativa.

La tercera parte del trabajo de Nestor está relacionada con consecuencias geométricas sobre hipótesis en los exponentes de Lyapunov en el fibrado inestable sobre las órbitas periódicas de un flujo geodésico de Anosov. Es decir, rigidez geométrica que proviene de los exponentes de Lyapunov. El primer resultado que Nestor probó fue para una variedad Riemanniana completa de volumen finito cuya curvatura es negativamente pinched. Entonces, como se dijo antes, su flujo geodésico es Anosov. Si los exponentes de Lyapunov en las direcciones inestables sobre órbitas periódicas son constantes, pero con valor máximo o mínimo posible con respecto al intervalo de curvatura seccional, entonces la variedad es de curvatura constante. Este resultado generaliza al contexto de variedades no compactas el resultado principal de “Rigidity of Equality of Lyapunov exponents for geodesic Flow” de C. Butler (Differential Geometry 109(1), 39-79, 2018). Por otra parte, Melo y Romaña, basados en este resultado de Butler, conjeturaron que si M es una variedad Riemanniana completa tal que su flujo geodésico es Anosov y los exponentes de Lyapunov son constantes sobre las órbitas periódicas entonces M es de curvatura constante. El resultado principal del trabajo de Nestor fue dar una respuesta afirmativa a esta conjetura en dimensión 2 y caso compacto suponiendo que el flujo geodésico por lo menos de clase C^5. De acuerdo con el orientador de Nestor, el Dr. Romaña, la prueba de este Teorema resultó de una combinación de técnicas de sistemas dinámicos y teoría ergódica recientes muy diferentes a las usadas por C. Butler en el artículo mencionado.
 
Cabe destacar que en la Tesis de Licenciatura de Nestor presentada en la Universidad Mayor de San Andrés, titulada “Teorema de Lyapunov para la estabilidad robusta”, está basada en el trabajo en el que Lyapunov introdujo lo que él llamó exponentes característicos y ahora llevan su nombre.

El Dr. Romaña en una comunicación reciente nos manifestó su impresión por la autodeterminación de Nestor, que al cambiar de línea a la mitad del doctorado tuvo que leer varios artículos rápidamente para atacar los nuevos problemas propuestos, sopesar la pandemia y aun así obtener resultados matemáticos relevantes en su tesis doctoral. Una anécdota que nos contó el Dr. Romaña es el deseo de Nestor de convencerse personalmente de las afirmaciones, lo que condujo muchas veces a que obtenga pruebas más sencillas de algunos argumentos.

Nestor defendió su tesis doctoral en septiembre de 2022 y a fines de ese mismo año ganó en primer lugar un concurso público para ser docente-investigador permanente en la Universidade Federal de Viçosa del estado de Minas Gerais de Brasil. De hecho, esa universidad le comunicó oficialmente que tenía un mes para incorporarse en febrero pasado, un día antes de su hospitalización en Rio de Janeiro.

El Dr. Romaña también nos comentó que Nestor avanzó en dos artículos que resultarán de su tesis y que posiblemente exista un tercer artículo. Él considera a Nestor una persona dedicada, inteligente, que comprende matemática profunda y con una visión matemática avanzada. De hecho, en este momento, Nestor tiene ideas para resolver problemas relevantes en su mente.

La Paz, Bolivia, 8 de mayo de 2023.